La belleza de lo anti-intuitivo

Las cosas que suelen sorprenderme más son aquellas de van en contra de mi intuición.

Acá va un ejemplo clásico, que me sigue asombrando.

¿Cuál es el mínimo número de personas que tenemos que juntar al azar para que la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día sea mayor al 50%?

Antes de seguir, te sugiero que vuelvas a leer la pregunta y la pienses por unos segundos.

Este problema me lo contó Adrián Paenza hace más de 20 años y me enseñó mucho (el problema y Adrián). Te invito a que lo pensemos juntos. Acompañame.

Si tomamos dos personas al azar, la probabilidad de que cumplan años el mismo día es bastante baja: 1 en 365 (no tengamos en cuenta los que nacieron un 29 de febrero, ¡perdón Caro!). Esto es menos de 0,3% de probabilidades. Si en lugar de tener dos personas, tenemos tres, la probabilidad de que al menos dos de esas personas cumplan el mismo día sube un poquito, pero sigue siendo muy baja.

Vayamos al otro extremo. ¿Cuántas personas tengo que tener como mínimo para estar seguro (probabilidad 100%) de que al menos dos cumplen el mismo día? Si tengo 365 o menos, puede pasar que todas esas personas cumplan en días distintos. Con 365, puedo tener una que cumpla el 1 de enero, otra el 2 de enero, y así hasta el 31 de diciembre. Entonces, si tenemos hasta 365 personas no puedo tener seguridad de que dos o más cumplan el mismo día. Pero al agregar una persona más, la número 366, ahí sí que voy a estar seguro, porque si hasta ese momento todos cumplían en días distintos, no importa en qué día cumpla la nueva persona, seguro que ya había otra persona que cumple años ese día.

Ahora ya sabemos que si tenemos 2 o 3 personas, la probabilidad es muy baja y que si tenemos 366 o más personas, la probabilidad es del 100%. Entonces volvamos ahora a la pregunta original. ¿Con cuántas personas vamos a tener 50% de probabilidades de que dos cumplan años el mismo día?

Acá viene una de las cosas más lindas que me enseñó Adrián. Si queremos entrenar nuestra intuición, antes de hacer las cuentas, intentemos adivinar cuál es la respuesta al problema. ¿Adivinar? Sí, adivinar. Seguime.

Nuestra intuición está compuesta por los modelos del mundo que vamos construyendo durante la vida, integrando toda nuestra experiencia con las capacidades que traemos de fábrica. Estos modelos del mundo nos dan herramientas para proyectarnos a futuro, nos ayudan a hacer planes, nos permiten imaginarnos qué va a pasar si hacemos una cosa u otra. Y van desde cosas chiquitas del día a día, como saber cruzar la calle y llegar vivos al otro lado, hasta cosas grandes, como decidir de qué queremos trabajar o con quién queremos compartir la vida. Cuando acumulamos experiencia, esos modelos suelen funcionar. Pero a veces fallan.

Si empezamos adivinando, después podemos hacer las cuentas más rigurosas para ver cómo le fue a nuestra intuición. Si le fue bien, la reforzamos. Si nuestra intuición se equivocó, tenemos la oportunidad de aprender. Mientras que esto es muy difícil de hacer con las grandes preguntas de la vida, los problemas como el que estamos pensando juntos ahora nos dan una posibilidad de entrenar nuestra intuición sin mucho riesgo, para tomar mejores decisiones en otros aspectos de la vida.

Cuando pensé este problema por primera vez, la intuición me decía que para tener probabilidad de 50% seguramente necesitaba algún número intermedio de personas. Seguro que más de 3 y menos de 366. Ese día intuí que íbamos a necesitar entre 100 y 200 personas elegidas al azar para que la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día sea mayor al 50%.

Bueno, resulta que no es así. Alcanza con tener solamente 23. Guau.

Acá va un gráfico que muestra cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día para distintos tamaños de grupos elegidos al azar. Mirá qué hermosura:

Este gráfico nos muestra que la probabilidad de que al menos dos personas cumplan el mismo día es muy bajita cuando tenemos pocas personas, que llega al 50% cuando tenemos 23 personas y que ya se acerca mucho al 100% cuando tenemos más de 50 personas.

Este es un resultado asombroso y, al menos para mí, muy anti-intuitivo. Eso quiere decir que es una gran oportunidad para educar nuestra intuición para que estemos mejor preparados para cuando nos encontremos con otros problemas parecidos.

Antes de contarte qué ajuste hice a mi intuición, te quiero mostrar cómo se puede hacer la cuenta. Yo sé que querés hacer las cuentas conmigo, pero si no tenés ganas ahora, podés saltear esta parte para ir directo al cierre con la educación de la intuición. Respirá profundo y seguime.

Acá empiezan las cuentas.

Empecemos con grupos pequeños y vayamos agregando más personas una por una. Para que la pregunta tenga sentido, tenemos que tener al menos 2 personas. Supongamos que ya elegimos a la primera persona al azar y que cumple años el 1 de junio (en el lenguaje matemático se dice que este es un ¨supuesto sin pérdida de generalidad¨, porque ya vas a ver que para lo que sigue no importa si es el 1 de junio, el 12 de diciembre, o cualquier otra fecha). Ahora elegimos a la segunda persona, también al azar. Su fecha de cumpleaños va a ser cualquier día del año con la misma probabilidad. Esto no es estrictamente así, en distintos países y culturas, hay algunas épocas del año en las que nacen más personas que en otras, pero el efecto es pequeño y, para este análisis, lo voy a ignorar. Entonces la probabilidad de que esa persona cumpla el 1 de junio va a ser 1 en 365, es decir de un poquito menos del 0,3%, como ya te había contado más arriba.

Agreguemos una tercera persona. Ahora se pone más interesante la cosa.

Para hacer la cuenta con 3 personas, te voy a mostrar un truquito que me encanta. Cuando uno quiere calcular la probabilidad de que algo pase (en este caso, la probabilidad de que al menos dos de las personas del grupo cumplan años el mismo día), a veces es más fácil calcular la probabilidad de que no pase eso (es decir, en este caso, la probabilidad de que todos cumplan años en días distintos). Y como la probabilidad que algo no ocurra y la probabilidad de que sí ocurra siempre suman 100% (¡las cosas suceden o no suceden!), si sé una de las probabilidades, puedo calcular la otra restando la primera a 100%.

Entonces con 3 personas, me voy a preguntar cuál es la probabilidad de que cumplan las tres en días distintos. Supongamos que ya tengo elegidas las primeras dos personas y que ya sé que cumplen en días distintos. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera persona, elegida al azar, cumpla en un día que no coincida con ninguna de las primeras dos? Tengo 365-2=363 fechas en las que eso pasa. Entonces la probabilidad es de 363 dividido por 365, es decir de 99,45%. Pero eso suponía que las primeras dos cumplen en días distintos y eso tenía probabilidad de 364/365, es decir 99,73%. Entonces la probabilidad de que pasen las dos cosas (que las primeras dos cumplan en días distintos y que la tercera cumpla en días distintos a las primeras dos) es la multiplicación de ambas, es decir, 99,73% x 99,45% = 99,18%.

Entonces la probabilidad que estoy buscando, es decir, la probabilidad de que al menos dos cumplan el mismo día cuando tengo tres personas elegidas al azar es de 100%-99,18%=0,82% (es decir, un poco menos del 1%).

Ya calculamos para 2 y para 3 personas. ¿Cómo hacemos con 4?

Quizá te estés preguntado si voy a seguir haciendo la cuenta para cada una de las opciones, una por una, hasta agregar a 366 personas (a partir de esa cantidad ya sabemos que la probabilidad es del 100%). Y empezás a pensar que tenés que ir a trabajar o a hacer otra cosa, y que tenés una vida, y que no podés seguirme paso por paso. Pero aquí viene otro truquito que es una de las herramientas de la matemática que más me fascina y que nos ayuda a no tener que hacer los casos uno por uno. Los vamos a resolver a todos juntos de un plumazo.

Supongamos que ya tenemos una cantidad de personas (llamemos a este número con la letra N) y que ya conocemos la probabilidad de que todas esas N personas cumplan en días distintos, a la que vamos a llamar P(N), podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de que sigan cumpliendo en fechas distintas cuando agregamos a la siguiente persona (la número N+1). ¡Pero ya sabemos cómo calcular eso, porque lo hicimos para el caso de N=2! Hagamos el mismo razonamiento. Cuando agregamos a la persona N+1, tenemos N fechas de cumpleaños ya ocupadas (porque suponemos que cumplen en días distintos). Entonces la probabilidad de que esa persona cumpla otro día es (365-N)/365.

Ya casi estamos.

Entonces la probabilidad de que N+1 personas cumplan días distintos, que llamamos P(N+1), es la probabilidad de que las primeras N cumplan días distintos, es decir P(N), multiplicada por (365-N)/365. O, en escritura matemática:

P(N+1)=P(N)*(365-N)/365

Y como esto es la probabilidad de que cumplan en días distintos, la probabilidad que estaba buscando, es decir, que al menos dos cumplan el mismo día, es 100% menos la probabilidad que calculamos acá arriba.

Esto se llama una ¨fórmula recursiva¨ porque te dice el resultado que estás buscando para cada cantidad de personas, basado en el resultado para una persona menos. Las fórmulas recursivas aparecen en muchas áreas de la matemática y se usan mucho también en la programación de las computadoras.

Y son muy fáciles de usar en una planilla de cálculo. Si querés ver cómo hice las cuentas en detalle, acá te comparto la planilla de cálculo. La planilla está en modo lectura, así que si querés jugar con los números, te sugiero que hagas una copia de la planilla.

Acá terminaron las cuentas.

Ya hicimos las cuentas y sabemos exactamente el resultado del problema. Pero, como ese resultado me resultó tan anti-intuitivo, quiero ver si puedo aprender algo para entrenar mi intuición para cuando me tope con problemas parecidos en la vida.

Creo que el resultado me sorprendió porque mi intuición previa se basaba en que:

• conozco pocas personas (5 o 6) que cumplen años el mismo día que yo;

• pensaba erróneamente el problema de manera lineal y sentía que para tener 50% de probabilidades de tener dos personas que cumplan el mismo día, deberíamos tener más o menos la mitad de personas que días en el año y

• no tenía en cuenta que no hay que fijar la fecha de cumpleaños repetida de antemano.

Me parece que se puede pensar intuitivamente de esta otra manera. Suponé que tenés un cartón con todas las fechas del año en cuadraditos. Es como una tarjeta de un bingo, pero con 365 números. Cada vez que llega una nueva persona al azar al grupo es como que sale un fecha de un bolillero que tiene todas las fechas repetidas muchísimas veces. Y supongamos que uno gana el juego de este bingo modificado la primera vez que sale una bolilla con una fecha que ya teníamos marcada en nuestra tarjeta, porque ya había salido antes. Entonces la pregunta es ¿cuántas bolillas del bingo hay que sacar para que tengamos un 50% de probabilidades de ya haber ganado? Como probablemente reconozcas el paralelo, ¡estamos hablando de exactamente el mismo problema!

Pero mirándolo así, a mí me resulta más intuitivo. Cuando sacamos la segunda bolilla, obviamente la probabilidad de que nos toque la misma fecha de la bolilla que ya teníamos es muy baja. Y sigue siendo relativamente baja, incluso cuando ya tenemos 10 o 20 bolillas en nuestro cartón. Pero ya no es tan baja cuando tenemos 20 bolillas (con 20 bolillas ya en el tablero, al sacar la siguiente bolilla, tenemos algo más de 5% de probabilidades de sacar una fecha que ya tenemos). Esa probabilidad de 5% no parece muy alta, pero tenemos varios intentos que van haciendo que las probabilidades suban. Y cuando ya sacamos 23 bolillas, la probabilidad de que nos haya tocado al menos una fecha repetida supera el 50%, por la combinación de esas probabilidades bajas (pero crecientes) con la cantidad de veces que intentamos. ¡Así ya no parece tan anti-intuitivo!

Cada vez que algo me sorprende, me asombra, me resulta anti-intuitivo intento parar un poco la pelota y preguntarme por qué me falló la intuición y ver si estoy frente a una oportunidad de aprender y de educar la intuición para próximos desafíos que me plantee la vida.

Releyendo lo que escribí acá arriba, me di cuenta de que lo escribí con un estilo parecido al de Adrián Paenza. No me lo propuse. ¡Salió así! Si no leíste ninguno de los más de 15 libros con este tipo de problemas que escribió Adrián, te recomiendo empezar por el primero: Matemática, ¿estás ahí?. Podés bajar el pdf del libro gratuitamente del sitio del Departamento de Matemática de la UBA acá. También podés escuchar las conversaciones que tuvimos con Adrián en Aprender de Grandes acá y acá. ¡Gracias Adrián por todo!